Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tiếp trên R.

Ta gồm

với bao gồm . Vì với đa số m.

Do kia luôn tất cả tối thiểu 1 nghiệm trong vòng

với tất cả m.

kết luận phương thơm trình (1) luôn tất cả nghiệm với đa số giá trị m.

b).

(1)

Đặt

. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức tiếp tục trên R.

Ta gồm

với có . Từ đó suy ra luôn tất cả tối thiểu 1 nghiệm

Xét ngôi trường hợp:

Tóm lại phương trình (1) luôn gồm nghiệm với tất cả quý hiếm m.

c).

(1)

Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục trên R.

Ta có:

.

Ta có:

Vì

với tất cả m.

luôn tất cả ít nhất 1 nghiệm

với tất cả m.

kết luận phương thơm trình (1) luôn luôn bao gồm nghiệm với đa số giá trị m.

d).

(1)

Đặt

. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức thường xuyên trên R.

Chọn nghiệm, mang đến

Ta có:

Ta có:

Vì

luôn bao gồm tối thiểu 1 nghiệm . Tóm lại phương trình (1) luôn có nghiệm với đa số cực hiếm m.

Bạn đang xem: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Chứng minc phương trình sau có tối thiểu một nghiệm:

a).

b).

LỜI GIẢI

a). Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta tất cả

cùng , đề xuất suy ra với mọi m. Do kia luôn tất cả ít nhất 1 nghiệm với đa số m.

b). Đặt

. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục bên trên R.

Ta có

cùng có , yêu cầu suy ra với đa số m.

Do đó luôn có tối thiểu 1 nghiệm

với tất cả m.

Chứng minh các phương thơm trình sau bao gồm ít nhất nhị nghiệm:

a).

b).

LỜI GIẢI

a). Đặt

. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tiếp bên trên R.

Ta gồm

,

Vì

phương trình luôn luôn gồm ít nhất 1 nghiệm

Vì

phương trình có tối thiểu 1 nghiệm

Từ

phương thơm trình (1) luôn luôn tất cả ít nhất 2 nghiệm minh bạch.

Chứng minc pmùi hương trình

bao gồm tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng

LỜI GIẢI

Đặt

Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta tất cả

cùng .

Vì

phương trình tất cả tối thiểu 1 nghiệm trực thuộc khoảng tầm

Chứng minch pmùi hương trình

gồm ít nhất một nghiệm âm to hơn .

LỜI GIẢI

Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức thường xuyên bên trên R.

Ta có: , cùng

. Từ kia suy ra . Vậy phương trình (1) luôn bao gồm nghiệm ở trong khoảng .

tóm lại pmùi hương trình luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm âm to hơn .

Cho hàm số và

. Chứng minh phương thơm trình luôn tất cả nghiệm trực thuộc khoảng tầm .

LỜI GIẢI

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục bên trên R.

Ta bao gồm và

Theo đề bài xích tất cả

Ta có :

Cho hàm số

a). Chứng minc

b). Chứng minc phương trình không tồn tại nghiệm nằm trong khoảng chừng

LỜI GIẢI

a. Ta bao gồm cùng

b. Vì hàm số không liên tục bên trên không tồn tại nghiệm

6. Chứng minc rằng phương thơm trình

tất cả nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

phương trình sẽ đến vươn lên là

Hàm số

tiếp tục bên trên R.

Ta bao gồm :

Do

, suy ra phương trình có nghiệm nằm trong

Vậy pmùi hương trình đang cho gồm nghiệm.

7. Chứng minc các phương thơm trình sau bao gồm nghiệm:

a)

b) c) d)

LỜI GIẢI

a). Đặt

thì tiếp tục bên trên R và

Hàm số liên tục bên trên R, gồm suy ra phương trình bao gồm nghiệm thuộc khoảng . Vậy pmùi hương trình đã đến gồm nghiệm.

b). Đặt

thì liên tục bên trên R cùng

Hàm số tiếp tục trên R, gồm suy ra phương thơm trình có nghiệm trực thuộc khoảng , suy ra phương trình bao gồm nghiệm.

c). Đặt

thì thường xuyên trên R và

Hàm số thường xuyên bên trên R, bao gồm suy ra phương trình gồm nghiệm nằm trong khoảng . Vậy phương thơm trình vẫn mang đến bao gồm nghiệm.

d). Đặt

thì liên tiếp bên trên R với

Hàm số liên tiếp bên trên R, gồm suy ra phương thơm trình bao gồm nghiệm nằm trong khoảng tầm . Vậy phương thơm trình sẽ cho bao gồm nghiệm.

10. Chứng minc rằng nếu và

thì pmùi hương trình gồm nghiệm trực thuộc khoảng chừng

LỜI GIẢI

Đặt

thì tiếp tục trên R.

Ta tất cả

(vày )

Vì

cho nên vì thế

-Với

phương thơm trình sẽ đến ( kí hiệu là phương thơm trình biến đổi

Suy ra

hoặc

+Nếu thì tự

với ĐK suy ra . lúc đó phương thơm trình có nghiệm là , suy ra phương trình có nghiệm

+ Nếu

thì (vì ví như thì trường đoản cú điều kiện suy ra )

suy ra phương trình tất cả nghiệm

khi đó từ điều kiện và suy ra

Do đó phương trình có nghiệm

-Với

là nghiệm trực thuộc .

- Với cùng

gồm ít nhất một nghiệm ở trong khoảng chừng

Mà

(do ) đề xuất phương trình gồm nghiệm

Vậy phương trình luôn tất cả nghiệm nằm trong khoảng tầm .

12. Chứng minh rằng với tất cả số thực a, b, c phương trình

có ít nhất một nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

thì tiếp tục bên trên R.

Không sút tính tổng thể, giả sử

-Nếu

hoặc thì suy ra phương trình tất cả nghiệm

-Nếu

thì và vì thế trường thọ thuộc khoảng chừng để

Vậy pmùi hương trình vẫn mang đến luôn có tối thiểu một nghiệm.

8. Chứng minc phương trình

tất cả cha nghiệm trên khoảng chừng

LỜI GIẢI

Đặt

thì liên tục bên trên R.

Do kia

từ tính chất của hàm số liên tục , suy ra bao gồm nghiệm trực thuộc khoảng tầm suy ra pmùi hương trình có bố nghiệm trên khoảng chừng

10. Chứng minc rằng với mọi a, b, c phương thơm trình

luôn bao gồm nghiệm.

Xem thêm: Chơi Gì, Xem Gì Khi Đến Bảo Tàng Dân Tộc Học Ở Đâu, Nên Đi Vào Thời Điểm Nào

LỜI GIẢI

Đặt

thì liên tục trên R.

Ta có: nhằm

nhằm

do vậy có

nhằm suy ra phương thơm trình có nghiệm vậy phương trình sẽ cho luôn luôn gồm nghiệm.

11. Chứng minh rằng với đa số a, b, c phương thơm trình

gồm ít nhất hai nghiệm rành mạch.

LỜI GIẢI

Đặt

thì thường xuyên trên R.

Ta có:

nhằm

để

Do kia

suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm trong khoảng

suy ra phương thơm trình bao gồm nghiệm trong khoảng nhưng các khoảng cùng không giao nhau, do đó phương trình bao gồm ít nhất nhị nghiệm biệt lập.

12. Chứng minch rằng pmùi hương trình

có nghiệm nhưng

LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt

ta tất cả phương thơm trình

Ta chứng minh phương trình gồm nghiệm

Đặt

phương thơm trình trnghỉ ngơi thành:

Ta minh chứng tất cả nghiệm trong tầm

Đặt

thì thường xuyên trên R.

Ta có

Nên

Và

Do đó

Suy ra

vậy pmùi hương trình bao gồm nghiệm tự đó suy ra điều đề xuất chứng tỏ.

Cách 2: (áp dụng lượng giác)

Từ bí quyết

Do đó

tuyệt với

Từ phương pháp này suy ra:

Nghiệm của phương thơm trình sẽ cho hoàn toàn có thể tìm được dưới dạng :

, làm thế nào cho

Đặt

, phương trình đang mang lại trlàm việc thành:

Lấy

ta được cùng nghiệm thỏa mãn nhu cầu ĐK sẽ nêu.

Chứng minh rằng phương thơm trình

tất cả bố nghiệm thực phân minh. Hãy search 3 nghiệm đó.

Đặt

; tập xác định suy ra hàm số thường xuyên trên . Ta bao gồm suy ra . Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt bao gồm tía nghiệm phân biệt thuộc . Đặt cố gắng vào pt ta được:

, kết phù hợp với ta được . Do kia phương thơm trình đang đến gồm 3 nghiệm:

.

Cho phương trình:

( là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với mọi quý giá thực của pmùi hương trình đã mang lại bao gồm tối thiểu cha nghiệm thực phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt

ta được khẳng định với liên tiếp bên trên .

Ta gồm

Do kia ta được

phải phương thơm trình gồm nghiệm ở trong suy ra pmùi hương trình bao gồm 3 nghiệm rõ ràng.

Tìm n số nguyên ổn dương bé dại tốt nhất làm sao để cho phương thơm trình có nghiệm.

Ta bao gồm

. Đặt .

Điều khiếu nại để hàm số xác minh

.

Nếu n lẻ: hàm số khẳng định

.

Nếu n chẵn: Hàm số khẳng định

. Khi kia là hàm số chẵn trên tạp xác minh của chính nó đề nghị ví như pmùi hương trình bao gồm nghiệm thì cũng đều có nghiệm . Do đó ta chỉ cần xét trường thích hợp .

Ta bao gồm

Ta tất cả

. Dấu xảy ra lúc hệ này vô nghiệm. Do kia

Vì

phương thơm trình vô nghiệm Khi .

Với ta tất cả

.

Có ,

.

Vì

. Từ đó gồm (1).

Hàm số xác minh với liên tiếp trên

do đó hàm số f(x) tiếp tục bên trên đoạn (2). Từ (1) cùng (2) suy ra phương thơm trình gồm ít nhất một nghiệm trong vòng .

Tóm lại là số ngulặng dương nhỏ dại độc nhất thế nào cho phương thơm trình tất cả nghiệm.

Cho hàm số

a). Chứng minh phương thơm trình có nghiệm .

b). Không tính

cùng hãy chứng minh .

LỜI GIẢI

Ta tất cả

với yêu cầu (1). Vì hàm số khẳng định và liên tục bên trên R buộc phải yêu cầu hàm số f(x) tiếp tục bên trên đoạn (2). Từ (1) cùng (2) suy ra phương thơm trình bao gồm ít nhất một nghiệm ở trong khoảng chừng .

Ta có

. Vì là nghiệm của pmùi hương trình buộc phải .

Đặt

vì cùng .

Áp dụng định lý Cauchy cho nhì số không âm

với 3 ta bao gồm .

Dấu xẩy ra

.

Chứng minch Lúc

thì phương trình có bố nghiệm dương phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt

Vì

.

Ta bao gồm

, , , . Từ kia tất cả (1). Vì hàm số tiếp tục cùng khẳng định trên R yêu cầu hàm số tiếp tục trên các đoạn (2). Từ (1) cùng (2) suy ra pmùi hương trình có bố nghiệm dương phân minh thứu tự ở trong các khoảng .

Cho

với thỏa . Chứng minh rằng phương trình sau bao gồm nghiệm: .

LỜI GIẢI

Đặt

. Có hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn (1).

Ta gồm

.

.

(2).

Từ (1) với (2) suy ra phương thơm trình có nghiệm

.

Chứng minch với tất cả tsay mê số m pmùi hương trình sau luôn bao gồm nghiệm thực:

LỜI GIẢI

Đặt

.

Ta có

với nên (1). Vì hàm số f(x) xác định với liên tiếp trên R buộc phải f(x) tiếp tục bên trên đoạn (1). Từ (1) cùng (2) suy ra phương thơm trình luôn có nghiệm thuộc khoảng tầm .

Chứng minch rằng phương thơm trình

bao gồm ba nghiệm rành mạch với tất cả quý hiếm của tham mê số m.

Đặt

. Ta có:

.

.

.

.

Từ kia ta bao gồm

(1). Hàm số f(x) xác định và liên tiếp bên trên R cho nên vì thế f(x) thường xuyên trên các đoạn (2). Từ (1) cùng (2) suy ra phương trình có ba nghiệm rành mạch theo thứ tự trực thuộc các khoảng chừng .

Chứng minh phương trình gồm tối thiểu 2 nghiệm với

m,n,p .

Xét pmùi hương trình: (1)

Xét hàm số:

sao để cho .

làm thế nào cho

Hàm số f(x) tiếp tục bên trên những đoạn

cùng

pmùi hương trình gồm ít nhất 1 nghiệm và tối thiểu 1 nghiệm .

Vậy pmùi hương trình tất cả ít nhất 2 nghiệm.

Cho pmùi hương trình:

a). Với

chứng minh rằng phương thơm trình có tối thiểu hai nghiệm phân minh.

b). Với

, mang sử phương thơm trình có nghiệm, chứng minh

LỜI GIẢI

a)

Đặt

liên tục trên R.

Ta có:

Mặt không giống

, bắt buộc tồn tại 2 số với làm sao để cho . Do kia . Vậy phương thơm trình gồm tối thiểu nhì nghiệm rành mạch trực thuộc nhị khoảng chừng và .

b).

điện thoại tư vấn là nghiệm của phương trình ( )